Un nuovo modo per semplificare le equazioni quadratiche

Gli antichi babilonesi erano un gruppo straordinario. Tra i tanti risultati straordinari, hanno trovato una soluzione matematica ormai famosa a una sfida spiacevole: pagare le tasse.

Il problema particolare per il normale babilonese che lavora era questo: data una tassa che deve essere pagata nei raccolti, di quanto dovrei aumentare le dimensioni del mio campo per pagarla?

Questo problema può essere scritto come un'equazione quadratica della forma Ax2+Bx+C=0. E si risolve con questa formula:

Oggi, oltre 4.000 anni dopo, milioni di persone hanno la formula quadratica incisa nella loro mente grazie al modo in cui la matematica viene insegnata in tutto il pianeta.

Ma molte meno persone possono derivare questa espressione. Ciò è dovuto anche al modo in cui viene insegnata la matematica: la consueta derivazione si basa su un trucco matematico, chiamato completare il quadrato, che è tutt'altro che intuitivo. In effetti, dopo i babilonesi, i matematici impiegarono molti secoli per imbattersi in questa prova.

Prima e dopo, i matematici hanno trovato un'ampia gamma di altri modi per derivare la formula. Ma tutti sono anche complicati e non intuitivi.

Quindi è facile immaginare che i matematici debbano aver esaurito il problema. Non può esserci un modo migliore per derivare la formula quadratica.

Entra in Po-Shen Loh, un matematico della Carnegie Mellon University di Pittsburgh, che ha trovato un modo più semplice, che sembra essere passato inosservato in questi 4.000 anni.

L'approccio di Loh non si basa sul completamento del quadrato o su altri difficili trucchi matematici. In effetti, è abbastanza semplice funzionare come metodo generale stesso, il che significa che gli studenti non devono ricordare affatto la formula. La derivazione ha il potenziale per demistificare la formula quadratica per gli studenti di tutto il mondo, dice.

Il nuovo approccio è semplice. Inizia osservando che se un'equazione quadratica può essere fattorizzata nel modo seguente:

Quindi il lato destro è uguale a 0 quando x=R o quando x=S. Allora quelle sarebbero le radici di quadratica.

Moltiplicando il lato destro si ottiene

Questo è vero quando -B=R+S e quando C=RS.

Ora ecco che arriva la parte intelligente. Loh fa notare che i numeri, R e S, si sommano a -B quando la loro media è -B/2.

Quindi cerchiamo due numeri della forma -B/2±z, dove z è una singola incognita, dice. Possiamo quindi moltiplicare questi numeri insieme per ottenere un'espressione per C. Quindi

Poi qualche semplice riorganizzazione dà

Ciò significa che la soluzione per un'equazione quadratica è:

Ecco! Questa è la formula quadratica.

[La versione più generale può essere derivata dividendo l'equazione Ax2+Bx+C=0 per A per dare x2+B/Ax+C/A=0 e poi ripetendo il processo sopra.]

Questo è un miglioramento molto significativo rispetto al metodo precedente e Loh mostra perché con un semplice esempio.

Trova le radici della seguente quadratica: x2 - 2x+4=0

Il metodo tradizionale consiste nell'elaborare i valori per A, B e C e inserirli nella formula quadratica. Ma l'approccio di Loh risolve il problema in modo intuitivo. Il primo passo è pensare che le due radici dell'equazione devono essere uguali a -B/2±z = 1±z

E poiché il loro prodotto deve essere C=4, possiamo scrivere:

Così sono le radici

Tentare lo stesso problema usando il metodo tradizionale è molto più complicato. Dai, provalo! Il nuovo approccio è molto più semplice e intuitivo, anche perché non richiede affatto la memorizzazione della formula.

Una domanda interessante è perché nessuno si è mai imbattuto e ampiamente condiviso questo metodo prima.

Loh dice che 'sarebbe davvero molto sorpreso se questo approccio fosse completamente sfuggito alla scoperta umana fino ai giorni nostri, dati i 4.000 anni di storia su questo argomento e i miliardi di persone che hanno incontrato la formula e la sua prova. Eppure questa tecnica non è certamente ampiamente insegnata o conosciuta.'

Loh ha cercato nella storia della matematica un approccio che assomigli al suo, senza successo. Ha esaminato i metodi sviluppati dagli antichi babilonesi, cinesi, greci, indiani e arabi, nonché dai matematici moderni dal Rinascimento fino ad oggi. Nessuno di loro sembra aver fatto questo passo, anche se l'algebra è semplice ed è nota da secoli.

Allora perché adesso? Loh pensa che sia correlato al modo in cui l'approccio convenzionale dimostra che le equazioni quadratiche hanno due radici. Forse il motivo è perché in realtà è matematicamente non banale fare l'implicazione inversa: che ha sempre due radici e che quelle radici hanno somma −B e prodotto C, dice.

Loh, che è un educatore di matematica e divulgatore di una certa nota, ha scoperto il suo approccio analizzando i programmi di matematica per gli scolari, con l'obiettivo di sviluppare nuove spiegazioni. La derivazione è emersa da questo processo.

La domanda ora è quanto ampiamente si diffonderà e quanto velocemente. Per accelerare l'adozione, Loh ha prodotto un video sul metodo . Ad ogni modo, i calcolatori delle tasse babilonesi sarebbero sicuramente rimasti colpiti.

Rif: arxiv.org/abs/1910.06709 : Una semplice dimostrazione della formula quadratica

Correzione: abbiamo modificato una frase per dire che il metodo non è mai stato ampiamente condiviso prima e abbiamo incluso una citazione di Loh.

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