Questo algoritmo può dire quali sequenze di numeri un essere umano troverà interessanti

Una delle curiose proprietà della matematica è la sua bellezza. Ma è difficile catturare esattamente ciò che i matematici intendono per bellezza.

Forse l'esempio più famoso è la relazione di Eulero, e io π + 1 = 0, che rivela un legame profondo tra aree della matematica apparentemente non correlate. Ad esempio, |_+_| viene dalla geometria, e e io provengono dall'algebra e le primitive 0 e 1 insieme alle operazioni + e = provengono dalla teoria dei numeri. Che siano collegati in un modo così semplice e inaspettato è una delle grandi meraviglie del mondo matematico.

E questo indica un'altra componente della bellezza matematica: i modelli matematici devono essere interessanti in qualche modo. Riconoscere questi modelli interessanti è sempre stata una capacità unicamente umana.

Ma negli ultimi anni, le macchine sono diventate strumenti di riconoscimento dei modelli estremamente capaci. In effetti, hanno iniziato a superare gli umani nel riconoscimento facciale, nel riconoscimento degli oggetti e anche in una varietà di ruoli di gioco.

E ciò solleva una possibilità interessante: gli algoritmi di apprendimento automatico possono identificare modelli interessanti o eleganti in matematica? Potrebbero anche essere arbitri della bellezza matematica?

Oggi riceviamo una sorta di risposta grazie al lavoro di Chai Wah Wu presso il TJ Watson Research Center di IBM nello stato di New York. Wu ha costruito un algoritmo di apprendimento automatico che ha imparato a identificare determinati tipi di eleganza nelle strutture matematiche e lo ha utilizzato per filtrare sequenze interessanti da quelle del tutto casuali.

La tecnica utilizza un database insolito chiamato Enciclopedia in linea di sequenze intere , originariamente creato negli anni '60 dal matematico Neil Sloane e pubblicato sul web nel 1996.

Una sequenza intera è una serie di numeri ordinati secondo una regola. Esempi famosi includono i numeri primi, numeri che possono essere divisi solo per se stessi e 1 ( A000040 ); la sequenza di Fibonacci, in cui ogni termine è la somma dei due termini precedenti ( A000045 ); e anche esempi banali come la sequenza di numeri dispari o i numeri primi che iniziano con un 7.

In effetti, i matematici che gestiscono l'OEIS hanno lanciato ampiamente la rete alla ricerca di sequenze interessanti e quindi hanno incluso un'ampia gamma di esempi con un significato puramente culturale. Questi includono i numeri primi che contengono la sequenza 666, il cosiddetto numero della bestia.

Il database include anche la sequenza di numeri primi che contengono il numero 667 ( A138563 ). Questo numero è stato ritenuto significativo perché quando i fax erano comuni, le persone spesso avevano un numero di fax che era il loro numero di telefono più 1. In altre parole, se il loro numero di telefono fosse 123-4567, il loro numero di fax sarebbe 123-4568. In questo modo di pensare, 667 è il numero di fax della bestia, e quindi di significato culturale (i redattori sono umani, dopotutto).

Oggi, il database di Integer Sequence contiene circa 300.000 sequenze e ogni giorno ne vengono inviate di nuove da dilettanti e professionisti, molte delle quali suggeriscono nuovi e interessanti problemi in matematica.

Il compito che Wu si è assunto è stato quello di trovare un modo per distinguere queste sequenze interessanti da quelle generate casualmente. E la sua idea era di trovare leggi empiriche che potessero fungere da misure di interesse che le distinguessero da quelle non interessanti.

Le leggi empiriche non sono teoremi matematici di per sé ma sono osservazioni empiriche di relazioni che sembrano applicarsi a molti insiemi di dati naturali e artificiali, afferma Wu. Gli esempi includono la legge di Moore in ingegneria elettrica e il principio di Pareto 80/20 in economia. Il motivo per cui queste leggi valgono non è completamente compreso, ma sono comunque valide.

Un principio empirico che si applica a molti set di dati è la legge di Benford. Questo fu scoperto dal matematico e astronomo canadese Simon Newcomb nel 1881. Newcomb notò che le pagine precedenti nei libri di tabelle dei logaritmi erano più sfogliate rispetto alle pagine successive, suggerendo che i logaritmi che iniziavano con la cifra 1 erano più comuni.

Questo lo ha portato a formulare il principio che in qualsiasi insieme di dati, più numeri inizierebbero con 1 rispetto a qualsiasi altro numero. La stessa idea fu riscoperta e resa popolare da Frank Benford negli anni '30.

La legge di Benford si applica a un'ampia gamma di set di dati, come bollette elettriche, indirizzi stradali, prezzi delle azioni e così via. È così prevedibile che può essere utilizzato per individuare le frodi nei conti finanziari. Ma non si applica alle sequenze casuali. Esattamente il motivo non è chiaramente compreso.

In effetti, è una sorta di enigma che i matematici abbiano scoperto che la legge di Benford si applica ad alcune sequenze intere. Ma quanto si applica in queste sequenze?

Per scoprirlo, Wu ha misurato quanto bene la legge predice la distribuzione delle prime cifre in 40.000 sequenze scelte casualmente dal database OEIS.

Si scopre che la legge di Benford compare molto più spesso del previsto. I risultati mostrano che molte, ma non tutte, le sequenze soddisfano in una certa misura la legge di Benford, dice Wu, che ha scoperto che anche un altro principio empirico chiamato legge di Taylor era ampiamente presente.

La domanda successiva era un semplice passo avanti: la legge di Benford e la legge di Taylor possono essere utilizzate per distinguere le sequenze casuali da quelle nell'OEIS?

Per scoprirlo, Wu ha generato 40.000 sequenze di numeri interi casuali e le ha aggiunte alle 40.000 sequenze selezionate dall'OEIS. Ha quindi addestrato un algoritmo di apprendimento automatico per individuare le sequenze OEIS utilizzando la legge di Benford e la legge di Taylor e per distinguerle dalle sequenze casuali.

I risultati sono impressionanti. L'algoritmo ha funzionato con una precisione di 0,999 e una precisione di 0,9984. Questo è significativo perché crea la possibilità di un processo automatizzato per individuare sequenze interessanti.

Un'applicazione è immediatamente evidente. I matematici che gestiscono l'OEIS attualmente devono elaborare circa 10.000 richieste all'anno. Quindi potrebbe essere utile un modo per individuare automaticamente i più interessanti.

Tuttavia, l'approccio presenta alcune limitazioni significative. I matematici hanno definito molte sequenze interessanti e importanti che hanno un numero infinito di termini ma sono difficili da calcolare. Di conseguenza, il database contiene solo una manciata di questi termini. Questi ovviamente non sono adatti per questo tipo di analisi basata su macchine.

La domanda più ampia è se questo approccio può identificare l'eleganza o la bellezza in matematica. Come chiede Wu: l'apprendimento automatico può identificare gli attributi qualitativi della conoscenza scientifica; cioè, possiamo dire se un risultato scientifico è elegante, semplice o interessante?

Questo obiettivo potrebbe non essere del tutto inutile. Se leggi empiriche come quelle di Benford e Taylor sono un indicatore di interesse, come suggerisce questo lavoro, allora forse questo algoritmo può essere considerato un arbitro di eleganza, almeno a un certo livello.

Eulero, dell'omonima parentela e uno dei più grandi matematici della storia, ne sarebbe sicuramente affascinato.

Rif: https://arxiv.org/abs/1805.07431 L'apprendimento automatico può identificare matematiche interessanti? Un'esplorazione utilizzando leggi osservate empiricamente

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