Prime leggi di conservazione derivate da un universo virtuale

Una delle idee più importanti, potenti e belle della fisica moderna è il teorema di Noether. Questo dice essenzialmente che le leggi fondamentali della fisica sono manifestazioni di simmetria nell'universo.

Quindi, se l'universo ha una simmetria rotazionale, allora deve anche obbedire alla legge di conservazione del momento angolare, se ha una simmetria temporale, allora l'energia deve essere conservata e così via.

È difficile sottovalutare il significato profondo di questo approccio. Sembra far a pezzi il tessuto stesso dell'universo per rivelare una bellezza molto potente al di sotto.

Eppure, osserva più da vicino il teorema di Noether e presto troverai i suoi gravi limiti. Si scopre che questo approccio può essere applicato solo a determinati tipi di sistemi che hanno simmetrie continue.

Ciò esclude specificamente i sistemi discreti, che procedono per gradi. Questi includono sistemi come le macchine di Turing, con cui uno o due lettori potrebbero avere familiarità.

Prendiamo ad esempio il famoso gioco della vita di Conway, in cui forme realistiche possono essere generate utilizzando un automa cellulare. Questo avviene su una griglia quadrata che è simmetrica nelle rotazioni di un quarto di giro, ma non nelle rotazioni continue. E in questo mondo, il tempo avanza a passi discreti piuttosto che continui.

Chiaramente il teorema di Noether non può essere applicato. Quindi cosa succede alle leggi di conservazione? Nel gioco della vita dobbiamo abbandonare la conservazione dell'energia, il momento angolare e simili?

Oggi Tommasso Tofoli della Boston University e Silvio Capobianco della Tallinn University of Technology in Estonia affrontano esattamente queste domande. La loro risposta è una sorta di sollievo: trovano una famiglia di sistemi discreti che obbediscono a un teorema simile a Noether e mostrano perché.

Il sistema che studiano è chiamato modello di spin di Ising. È una serie 2D di magneti elementari che possono puntare ciascuno verso l'alto o verso il basso. Ogni magnete è accoppiato ai suoi quattro più vicini dall'equivalente matematico di un elastico. La fascia si allunga se il vicino gira nella direzione opposta e si allenta se gira nella stessa direzione.

La domanda che Toffoli e Capobianco studiano è come si comporta questo sistema, come gli spin cambiano da uno stato all'altro, ma prima impongono un limite importante al tipo di interazioni che possono verificarsi.

Questa condizione è che uno spin si capovolgerà solo se così facendo lascia invariata la somma delle energie potenziali dei quattro legami circostanti. Questo può accadere se due dei vicini hanno spin paralleli mentre gli altri due hanno spin antiparalleli. Questo tipo di sistema è chiamato modello Ising microcanonico.

Questa condizione ha importanti conseguenze. Significa che l'energia potenziale è sempre conservata.

Ma pensaci più in dettaglio e diventa un po' difficile definire esattamente cosa intendiamo per energia. Il numero di magneti spin su e giù può ovviamente cambiare drasticamente, quindi questo non è ciò che viene conservato. Tuttavia, il confine tra loro deve essere sempre della stessa lunghezza. Quindi, se definiamo la lunghezza di questa linea come energia, allora questo è ciò che si conserva naturalmente.

(Naturalmente, i magneti, gli elastici e le energie potenziali non sono reali, ma solo modi utili per pensare a questo sistema.)

Può sembrare una definizione arbitraria per l'energia, ma Toffoli e Capobianco continuano a dimostrare che ha le stesse proprietà matematiche dell'energia nell'universo reale (definire l'energia nel nostro mondo è di per sé molto difficile da fare).

Certo, c'è un altro aspetto di questo sistema che è facile dimenticare ma cruciale per la conservazione. Questa è la struttura dello spazio-tempo discreto in cui si svolge tutta l'azione, in altre parole, la griglia 2D e i passaggi temporali su cui avviene il cambiamento.

Il culmine dell'articolo di Toffoli e Capobianco è la loro dimostrazione che l'energia può essere conservata solo se lo spazio-tempo è invariante, che tutte le direzioni e i tempi in questo universo di Ising sono essenzialmente equivalenti.

In questo modo, mostrano come un teorema simile a Noether può applicarsi in un universo discreto.

Questo è estremamente significativo. Significa che le stesse regole di simmetria che sono state potentemente applicate alla fisica moderna possono essere applicate anche alle molte nuove discipline che stanno iniziando a sfruttare modelli discreti. Questi includono molte scienze sociali, scienza della complessità, economia, scienza del web e, naturalmente, il pezzo grosso: l'informatica.

In effetti, questi ragazzi hanno usato per la prima volta la simmetria per derivare leggi di conservazione in un mondo virtuale.

Ma il significato è ancora più profondo. La cosa che lega tutte queste discipline è l'informazione. Fanno tutti parte di una nuova spinta nella scienza moderna che ignora le proprietà superficiali della realtà fisica e si concentra invece su un fondamento più profondo: l'informazione su cui è costruito l'universo.

Sebbene non lo dicano esplicitamente, ciò che Toffoli e Capobianco stanno studiando è il ruolo che i teoremi simili a Noether possono svolgere in questo nuovo mondo della scienza basata sull'informazione.

Naturalmente, solleva anche molte domande. Toffoli e Capobianco danno solo un singolo esempio di un sistema discreto in cui si applica un teorema simile a Noether. Quello che molte persone vorranno sapere è come questo può essere generalizzato. Ad esempio, può essere applicato al gioco della vita di Conway?

In ogni caso, Toffoli e Capobianco hanno fatto un inizio promettente. Come dicono loro stessi: questo è solo l'inizio di quella che promette di essere una linea di ricerca produttiva.

Rif: arxiv.org/abs/1103.4785 : Si può recuperare qualcosa dal teorema di Noether per sistemi dinamici discreti?

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