Prima piastrellatura aperiodica con un'unica forma

Il problema della piastrellatura di un aereo ha affascinato sia i costruttori che i matematici da tempo immemorabile. A prima vista, il compito è semplice: quadrati, triangoli, esagoni fanno tutti il ​​trucco producendo strutture periodiche ben note. Idem qualsiasi numero di forme irregolari e combinazioni di esse.

Una domanda molto più complicata è chiedersi quali forme possono affiancare un piano in uno schema che non si ripete. Nel 1962, il matematico Robert Berger scoprì il primo set di tessere che funzionava. Questo set era composto da 20.426 forme: non un set facile con cui piastrellare il tuo bagno.

Con un caloroso rispetto per i miglioramenti della casa, Berger ha successivamente ridotto il set a 104 forme e altri da allora hanno ridotto ulteriormente il numero. Oggi le più famose sono le tegole aperiodiche di Penrose, scoperte all'inizio degli anni '70, che possono ricoprire un aereo utilizzando solo due forme: aquiloni e freccette.

Il problema di trovare una singola tessera che possa fare il lavoro è chiamato problema di Einstein; niente a che vedere con il grand'uomo ma dal tedesco per one–ein–e per tile–stein. Ma la ricerca di un Einstein si è rivelata infruttuosa. Finora.

Oggi, Joshua Socolar e Joan Taylor della Duke University annunciano di aver risolto il problema di Einstein e nel frattempo hanno scoperto un modo completamente nuovo di affrontare il problema.

La tessera che hanno scoperto è essenzialmente una forma esagonale modificata. Ma usano un paio di trucchi per ottenere il risultato. In primo luogo, si permettono di utilizzare una piastrella e la sua immagine speculare per affiancare un piano in modo aperiodico.

Ovviamente, alcuni piastrellisti potrebbero pensare che questo stia un po' piegando le regole, quindi Socolar e Taylor continuano a dimostrare che l'immagine speculare non è necessaria se alla piastrella è consentita una forma 3D (vedi sotto).

La piastrella presentata qui è l'unico esempio noto di piastrella aperiodica, dicono.

Questo è un risultato impressionante. Dopo che Penrose ha rivelato le sue tassellature aperiodiche, i fisici hanno sottolineato che alcuni cristalli adottavano schemi simili. Sarà interessante vedere se la natura ha scoperto anche la soluzione di Socolar e Taylor.

Ovviamente il lavoro lascia aperto un problema sostanziale: è possibile affiancare un piano con un motivo non ripetitivo utilizzando un'unica piastrella 2D?

Immagino che Taylor e Socolar stiano cercando di capire il muro del bagno proprio in questo momento.

Rif: arxiv.org/abs/1003.4279 : Una tessera esagonale aperiodica

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