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La legge di Benford e una teoria del tutto
Nel 1938, il fisico Frank Benford fece una scoperta straordinaria sui numeri. Ha scoperto che in molti elenchi di numeri tratti da dati reali, è molto più probabile che la cifra iniziale sia un 1 piuttosto che un 9. In effetti, la distribuzione delle prime cifre segue una legge logaritmica. Quindi è probabile che la prima cifra sia 1 circa il 30% delle volte mentre il numero 9 appare solo il 5% delle volte.
È una scoperta inquietante e controintuitiva. Perché i numeri non sono distribuiti uniformemente in tali elenchi? Una risposta è che se i numeri hanno questo tipo di distribuzione, allora deve essere invariante di scala. Quindi il passaggio da un set di dati misurato in pollici a uno misurato in centimetri non dovrebbe modificare la distribuzione. In tal caso, l'unica forma che può assumere tale distribuzione è logaritmica.
Ma mentre questo è un argomento potente, non fa nulla per spiegare l'esistenza della distribuzione in primo luogo.
Poi c'è il fatto che la legge Benford sembra applicarsi solo a determinati tipi di dati. I fisici hanno scoperto che emerge in un'incredibile varietà di set di dati. Eccone solo alcune: le aree dei laghi, le lunghezze dei fiumi, le costanti fisiche, gli indici di borsa, le dimensioni dei file in un personal computer e così via.
Tuttavia, ci sono molti set di dati che non seguono la legge di Benford, come la lotteria e i numeri di telefono.
Qual è la differenza tra questi set di dati che fa applicare o meno la legge di Benford? È difficile sfuggire alla sensazione che stia succedendo qualcosa di più profondo.
Oggi, Lijing Shao e Bo-Qiang Ma dell'Università di Pechino in Cina forniscono una nuova visione della natura della legge di Benford. Esaminano come la legge di Benford si applica a tre tipi di distribuzioni statistiche ampiamente utilizzate in fisica.
Queste sono: la distribuzione di Boltzmann-Gibbs che è una misura di probabilità utilizzata per descrivere la distribuzione degli stati di un sistema; la distribuzione di Fermi-Dirac che è una misura delle energie delle singole particelle che obbediscono al principio di esclusione di Pauli (cioè i fermioni); e infine la distribuzione di Bose-Einstein, una misura delle energie delle singole particelle che non obbediscono al principio di esclusione di Pauli (cioè i bosoni).
Lijing e Bo-Qiang affermano che le distribuzioni di Boltzmann-Gibbs e Fermi-Dirac fluttuano entrambe in maniera periodica attorno alla distribuzione di Benford rispetto alla temperatura del sistema. La distribuzione di Bose Einstein, d'altra parte, è conforme alla legge di Benford esattamente qualunque sia la temperatura.
Cosa fare di questa scoperta? Lijing e Bo-Qiang affermano che le distribuzioni logaritmiche sono una caratteristica generale della fisica statistica e quindi potrebbero essere un principio più fondamentale alla base della complessità della natura.
È un'idea intrigante. Potrebbe essere che la legge di Benford suggerisca qualche tipo di teoria sottostante che governa la natura di molti sistemi fisici? Forse.
Ma che dire allora dei set di dati che non sono conformi alla legge di Benford? Qualsiasi spiegazione decente dovrà spiegare perché alcuni set di dati seguono la legge e altri no e sembra che Lijing e Bo-Qiang siano più lontani che mai da questo.
Rif: arxiv.org/abs/1005.0660 : La legge sulle cifre significative nella fisica statistica