La curiosa matematica delle reazioni a catena di Domino

Probabilmente hai visto l'effetto domino in azione in cui una fila di lastre in piedi si ribalta in successione. Di solito, le tessere del domino sono tutte della stessa dimensione, ma una tessera che si rovescia ha in realtà abbastanza slancio per spingerne una più grande. Quindi è possibile creare una fila di tessere successivamente più grandi che possono essere rovesciate dalla spinta di una piccola lastra all'inizio: una reazione a catena del domino.

Quindi ecco una domanda interessante. Quanto può essere più grande ogni tessera successiva?

Oggi, J M J van Leeuwen dell'Università di Leiden nei Paesi Bassi prende questo problema per la collottola e gli dà una bella scossa matematica. Si scopre che la risposta, il fattore di crescita massimo, non è così semplice come potrebbe suggerire il problema.

Ci sono vari video, come questo , su Internet che danno una buona dimostrazione dell'effetto della reazione a catena. Il pensiero standard è che un domino può rovesciarne un altro circa 1,5 volte più grande, a condizione che la distanza tra loro sia ottimale.

La fisica di base è semplice. Mettere in piedi un domino sulla sua estremità immagazzina una certa quantità di energia potenziale che viene rilasciata spingendolo sopra. Tuttavia, la forza richiesta per far cadere il domino è inferiore alla forza che genera quando cade. È questa amplificazione della forza che può essere utilizzata per rovesciare tessere del domino più grandi.

Ma il diavolo sta nei dettagli poiché ci sono vari modi in cui i domino perdono energia mentre cadono. Ad esempio, un domino che si rovescia si ferma sul suo vicino. Quindi le collisioni sono anelastiche, che è la principale fonte di energia persa. E in pratica, le tessere del domino possono scivolare lungo il pavimento quando vengono colpite e questo può ostacolare seriamente il rovesciamento.

Così van Leeuwen fa una serie di semplificazioni nella sua analisi matematica. Presuppone che l'attrito tra il terreno e le tessere del domino sia effettivamente infinito in modo che non possano scivolare. Presuppone che le collisioni siano completamente anelastiche in modo che le tessere del domino rimangano in contatto l'una con l'altra quando si scontrano. Presuppone anche che una volta in contatto tra loro, le tessere del domino scivolino l'una sull'altra senza attrito.

Dati questi presupposti, mostra quindi che con una spaziatura ottimale, ogni tessera successiva non può essere più grande di circa il doppio di quella precedente, che è un fattore di crescita massimo non superiore a circa 2.

È significativamente più di quanto si pensasse in passato. Ammette che raggiungere questo limite è probabilmente irrealistico in pratica perché le ipotesi non possono mai reggere perfettamente. Ad esempio, i domino scivoleranno sempre di una piccola quantità.

Tuttavia, anche un fattore di crescita di 1,5 porta ad alcune reazioni a catena straordinarie. Una serie di 13 tessere che crescono a questo ritmo amplificherà la forza necessaria per spingere la più piccola di un fattore di 2 miliardi. E non è necessaria una serie particolarmente lunga prima che le tessere del domino più grandi abbiano le dimensioni di grattacieli.

Matematica divertente!

Rif: arxiv.org/abs/1301.0615 : Domino Ingrandimento

nascondere