'Infinity Computer' calcola esattamente l'area del tappeto Sierpinski

Un tappeto Sierpinksi è uno degli oggetti frattali più famosi in matematica. Crearne uno è una procedura iterativa. Inizia con un quadrato, dividilo in nove quadrati uguali e rimuovi quello centrale. Ciò lascia otto quadrati attorno a un foro quadrato centrale.

Nell'iterazione successiva, ripeti questo processo con ciascuno degli otto quadrati rimanenti e così via (vedi sopra).

Un problema interessante è trovare l'area di un triangolo di Sierpinski. Chiaramente questo cambia ad ogni iterazione. Supponendo che il quadrato originale abbia un'area uguale a 1, l'area dopo la prima iterazione è 8/9. Dopo la seconda iterazione, è (8/9)^2; dopo il terzo è (8/9)^3 e così via.

Quindi l'area di un tappeto di Sierpinski dopo n iterazioni è (8/9)^n. È semplice.

Ma qual è l'area del tappeto dopo un numero infinito di iterazioni?

La matematica ordinaria non ha risposta a questa domanda perché manca degli strumenti per gestire l'infinito. I matematici, invece, guardano alle proprietà del sistema matematico ea come si comporta quando tende all'infinito. Hanno anche molti strumenti formali per esplorare questi limiti. Ma le proprietà all'infinito devono essere assunte.

In questo caso, l'area del tappeto tende a zero come il numero di iterazioni tende all'infinito, quindi l'area di un tappeto di Sierpinski è zero.

Questo lascia molti matematici con l'amaro in bocca. Il motivo è che l'area di un tappeto Sierpinski vicino all'infinito dovrebbe essere molto sensibile alla sua forma originale, che sia un quadrato o qualche altro motivo. Ma il processo per trovare i limiti offusca questo comportamento.

Ad esempio, invece di iniziare con un quadrato, immagina di iniziare con la forma in alto a sinistra con l'angolo della figura sopra, chiamiamola ciambella quadrata. La ciambella quadrata è composta da otto quadrati, ciascuno con i lati di 1/3 di lunghezza. Ovviamente, l'area di questo tappeto di Sierpinksi tende a zero quando n tende all'infinito.

Ma il tappeto quadrato a ciambella è un passo avanti rispetto al tradizionale tappeto Sierpinski, ma si perde nell'approccio tradizionale. All'infinito sono trattati come uguali.

Se ciò non sembra molto significativo, immagina di eseguire il processo al contrario, partendo dall'infinito e lavorando all'indietro per finire con un quadrato o una ciambella quadrata o qualche altra forma nella sequenza del tappeto.

In tal caso, ogni forma può essere creata dallo stesso numero (infinito) di passaggi, quindi non è possibile distinguerli. Questo è chiaramente assurdo.

Oggi Yaroslav Sergeyev, un matematico dell'Università della Calabria in Italia, risolve questo problema (e l'analoga versione tridimensionale chiamata spugna di Menger).

Negli ultimi anni Sergeyev ha promosso un nuovo tipo di matematica chiamata calcolo infinito. L'idea di base è quella di sostituire la nozione di infinito con un nuovo numero che Sergeyev chiama grossone, che scrive così:

Sergeyev inizia aggiungendo un nuovo assioma all'assioma dei numeri reali, che chiama assioma dell'unità infinita. Questo introduce il grossone, l'unità infinita.

Poiché è governato dagli altri assiomi dei numeri reali, anche il grossone si comporta come uno. Quindi è possibile moltiplicare il grossone, dividerlo, addizionarlo e sottrarlo, proprio come è possibile con altri numeri reali.

Ciò rende improvvisamente molto più facile lavorare all'infinito utilizzando un processo di calcolo che Sergeyev chiama computer infinito, che ha l'assioma aggiuntivo integrato. L'introduzione di grossone dà la possibilità di lavorare numericamente con quantità finite, infinite e infinitesime, dice.

Per mostrare la sua potenza, lavora attraverso gli esempi di tappeti Sierpinski sopra riportati, rivelando come sia possibile tenere traccia del numero di iterazioni all'infinito semplicemente aggiungendo o sottraendo numeri reali dal grossone. Se un quadrato può essere creato in passi grossone, una ciambella quadrata può essere creata in -grossone meno 1- passi. In questo modo, è semplice distinguere tra una qualsiasi delle forme nella sequenza del tappeto.

Sembra utile. L'incapacità di tenere traccia dei processi matematici vicini o all'infinito in modo coerente ha frustrato matematici e fisici per secoli.

Quindi, se Sergeyev ha trovato un modo per aggirare questo problema, questo è chiaramente un progresso altamente significativo.

Rif: arxiv.org/abs/1203.3150 : Valutazione dei valori infinitesimali esatti dell'area del tappeto di Sierpinski e del volume della spugna di Menger

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