Come trasformare la complessa matematica del calcolo vettoriale in semplici immagini

Nel 1948, la rivista Physical Review pubblicò un articolo intitolato Approccio spazio-temporale all'elettrodinamica quantistica da un giovane fisico di nome R.P. Feynman della Cornell University. L'articolo descriveva un nuovo modo per risolvere i problemi di elettrodinamica utilizzando le matrici. Tuttavia, oggi è ricordato per un'invenzione molto più potente: il diagramma di Feynman, che è apparso lì per la prima volta in stampa.

I diagrammi di Feynman hanno avuto un enorme impatto sulla fisica. Sono rappresentazioni pittoriche della matematica che descrivono l'interazione tra particelle subatomiche. Matematicamente, ogni interazione è una serie infinita, quindi anche le interazioni semplici tra le particelle sono incredibilmente complesse da scrivere in questo modo.

Il genio di Feynman è stato quello di rappresentare queste serie con linee semplici in un formato grafico, consentendo agli scienziati di pensare alla fisica delle particelle in modi nuovi ed entusiasmanti.

Feynman e altri iniziarono immediatamente ad estendere le loro idee usando questa abbreviazione grafica. In effetti, il fisico americano Frank Wilcjek, che ha lavorato con Feynman negli anni '80, una volta ha scritto: I calcoli che alla fine mi hanno portato a un premio Nobel nel 2004 sarebbero stati letteralmente impensabili senza i diagrammi di Feynman.

Naturalmente, molte altre aree della fisica si basano sulla matematica complessa. E ciò solleva l'interessante domanda se le innovazioni basate sulla grafica possano semplificare questi calcoli e forse dare il via a una nuova era di innovazione, proprio come ha fatto Feynman.

Entrano in Joon-Hwi Kim della Seoul National University in Corea del Sud e un paio di colleghi che hanno escogitato un'innovazione simile per il calcolo vettoriale, una scorciatoia basata sulla grafica per uno degli strumenti matematici più comuni e potenti nella scienza. Prevediamo che il calcolo vettoriale grafico abbasserà le barriere nell'apprendimento e nella pratica del calcolo vettoriale, come hanno fatto i diagrammi di Feynman nella teoria quantistica dei campi, dicono.

Prima un po' di background. Il calcolo vettoriale è la branca della matematica che si occupa della differenziazione e integrazione dei campi vettoriali. Il motivo per cui è così importante in fisica è che più o meno tutto nell'universo può essere descritto in termini di campi vettoriali: campi elettromagnetici, campi gravitazionali, flusso di fluidi e così via.

Ecco perché ogni studente universitario di fisica e ingegneria trascorre molte ore felici alle prese con la matematica e la notazione arcana che richiede. Il problema è che i campi vettoriali sono entità complesse: assegnano un singolo vettore a ogni punto nello spazio tridimensionale e possono essere essi stessi rappresentazioni di oggetti matematici più complessi chiamati varietà differenziabili. Quindi, nella sua forma più semplice, un campo vettoriale può essere un elenco infinito di vettori.

I matematici rappresentano questi campi utilizzando un approccio chiamato notazione indice. Un vettore può essere scritto come ai dove io = 1, 2 o 3 nello spazio tridimensionale. Un altro modo per scrivere questo è: = [ a uno, a Due, a 3].

I problemi sorgono quando queste quantità interagiscono matematicamente. I campi vettoriali possono essere moltiplicati per scalari o tra loro in due modi diversi, noti come prodotto scalare e prodotto incrociato. E i risultati possono essere straordinariamente complessi: matrici enormi e multidimensionali.

In tutti questi casi, gli indici dei campi vettoriali coinvolti devono essere tracciati con attenzione. Qualsiasi fisico saprà quanto è facile perdere un indice e il dolore che comporta trovarlo di nuovo

Poi c'è la sfida di capire come questi campi cambiano nel tempo, o in relazione a qualche altra variabile. Questo è il problema della differenziazione, per il quale i fisici hanno sviluppato una gamma di strumenti noti come operatori, forse il più famoso è il operatore .

Il progresso che Kim e colleghi hanno fatto è quello di sviluppare una notazione grafica che sostituisca la notazione dell'indice. Rappresentano un vettore come una scatola con una linea collegata. Al contrario, uno scalare non ha linee che si estendono da esso.

Quando due vettori si moltiplicano insieme tramite un prodotto scalare, il risultato è una quantità scalare. La notazione di Kim e co si occupa di questo automaticamente. In un prodotto scalare, le linee associate ai due vettori si collegano tra loro, creando un oggetto senza linee esterne, in altre parole, uno scalare.

Ma un prodotto incrociato tra due vettori produce un altro vettore, e ancora una volta la notazione di Kim e co lo gestisce automaticamente. La grafica di un prodotto incrociato è a forma di y, con le linee dei due vettori che si collegano a un terzo che si estende. In altre parole, questo forma un vettore.

Questo è solo l'inizio. I ricercatori continuano descrivendo un'ampia gamma di altri strumenti matematici, come l'operatore del insieme a varie identità importanti utilizzate nel calcolo vettoriale. Ed estendono le loro idee ai tensori, che sono oggetti matematici più complessi, ciascuno con due o più indici.

I risultati mostrano una notevole economia. Kim e colleghi mostrano come la loro notazione trasformi complesse espressioni matematiche in grafici relativamente semplici, proprio come i diagrammi di Feynman. Il linguaggio è altamente intuitivo e semplifica automaticamente le espressioni tensorali, dicono.

C'è un'utilità significativa qui. Kim e colleghi affermano che il loro approccio cambia il calcolo del campo vettoriale in un compito visivo, un po' come costruire con i mattoncini Lego. Da bambino che gioca con giocattoli educativi come blocchi Lego o bastoncini magnetici, sarà un'esperienza divertente 'scarabocchiare con i diagrammi di danza', dicono. Poiché i diagrammi di Feynman sono il linguaggio più naturale per descrivere il processo microscopico delle particelle elementari, la notazione grafica è il linguaggio canonico del sistema di calcolo vettoriale.

Questa è una grande affermazione con un enorme potenziale. Non c'è dubbio che i diagrammi di Feynman abbiano cambiato il modo in cui i fisici concepiscono la fisica delle particelle. Ma il calcolo vettoriale ha una portata ancora maggiore come fondamento matematico di gran parte della fisica e dell'ingegneria moderne.

La grande domanda è quanto ampiamente si diffonderanno le idee. Ciò determinerà se questa notazione grafica innesca un cambiamento trasformativo nel modo in cui pensiamo alla fisica o se forma una curiosa nota a piè di pagina nella storia dell'invenzione matematica. In ogni caso, Feynman si sarebbe sicuramente divertito.

Rif: arxiv.org/abs/1911.00892 : Potenziare il calcolo vettoriale con la notazione grafica

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